Formule
Vervroegde aflossing van een lening of vervroegde opname van een deposito (indien
noodzakelijk voor de bedrijfsvoering) is toegestaan. Er worden géén kosten en/of boetes
in rekening gebracht. De vervroegde aflossing of opname is gelijk aan de marktwaarde
van de lening of het deposito.
De formule om de marktwaarde te berekeningen is: Σ Cashflows * df
Cashflows = alle toekomstige kasstromen zoals rente en aflossing
df = disconteringsfactor (een factor waarmee een toekomstige kasstroom vermenigvuldigd
dient te worden, om de huidige waarde van deze kasstroom te berekenen) waarbij:
Daarbij worden de zero-rates van de GMB-rentetarieven gebruikt en niet de GMB-rentetarieven
zelf, omdat:
-
– De GMB-tarieven ≤1 jaar gelijk zijn aan de Euribortarieven en dus een renteconventie
hebben van actual/360 in plaats van de benodigde actual/actual.
-
– De GMB-tarieven > 1 jaar bepaald worden op basis van de effectieve rendementen op
de Staatsleningen, waarbij er jaarlijkse rentebetalingen zijn en waarvoor dus gecorrigeerd
dient te worden. Het GMB-tarief van bijvoorbeeld 3 jaar is gebaseerd op een rentebetaling
per jaar, terwijl een zero-rate van 3 jaar géén jaarlijkse rentebetalingen kent.
Toelichting berekening zero-rate en disconteringsfactor resterende looptijd ≤ 1 jaar
Om de zero-rate te bepalen van de GMB-rentetarieven ≤ 1 jaar, dienen deze vermenigvuldigd
te worden met actual/360. VoorbeeldVoor de leesbaarheid van alle formules zijn in
alle voorbeelden de zero-rates afgerond op 3 decimalen en de df op 4 decimalen. Voor
de uiteindelijke berekening zijn de niet-afgeronde cijfers gebruikt.: De zero-rate
op 2-5-2005 behorende bij een 5 maands GMB-tarief van 2,14% is 2,14% * 365/360 = 2,170%.
De bijbehorende df is 1 / (1+2,170% * 153/365) = 0,9910 (153 is het aantal dagen vanaf
2-5-2005 tot 2-10-2005).
Toelichting berekening zero-rate en disconteringsfactor resterende looptijd > 1 jaar
De zero-rates > 1 jaar worden aan de hand van de bootstrapping methode bepaald. Bootstrappen
is feitelijk niet meer dan een onbekende oplossen in de formule. Deze formule is recursief
en dat wil zeggen dat de df van ieder jaar wordt berekend met de df van voorgaande
jaren. Met de df van een jaar kan dan via een formule ook de zero-rate van dat jaar
berekend worden. De formule om de df van een jaar n te berekenen is:
dfn = 1 – Σ (dfx * rn) / (1+ rn) voor x = 1 t/m n-1 ; rn = het rentetarief voor n jaar
Nu de df voor jaar n berekend is, kan de zero-rate voor jaar n berekend worden. Hiervoor
wordt de volgende formule gebruikt: zero-raten = (1/dfn)1/n – 1 (dit is in feite de inverse van dfrl = 1/(1+zero-raterl)rl; waarbij rl = n)
Stappenplan berekening marktwaarde
Samenvattend is het stappenplan van het berekenen van de marktwaarde als volgt:
-
1. bepalen resterende looptijd cashflows;
-
2. berekening zero-rates en df van de GMB-tarieven tot na de langste resterende looptijd;
-
3. berekening zero-rates cashflows d.m.v. lineaire interpolatie;
-
4. berekening df op basis van geïnterpoleerde zero-rates en vervolgens per cashflow de
marktwaarde.
Voorbeeld vervroegde aflossing lening
Hieronder volgt een voorbeeld waarin volgens het stappenplan de marktwaarde bepaald
zal worden.
Modaliteiten
Een lening met een looptijd van 4 jaar en een hoofdsom van 10 miljoen tegen een rente
van 2,94%. De lening werd verstrekt op 19-11-2004 en loopt af op 19-11-2008. Er zijn
4 aflossingen:
– 21-11-2005
|
2,5 miljoen
|
– 20-11-2006
|
1,5 miljoen
|
– 19-11-2007
|
1 miljoen
|
– 19-11-2008
|
5 miljoen
|
Op 2 mei 2005 wordt de lening vervroegd afgelost.
Marktwaarde
Stap 1: Bepaling resterende looptijd cashflows
Datum
|
Cashflow
|
Bedrag
|
Resterende looptijd (rl)
|
21-11-2005
|
Rente
|
€ 295.610,96
|
2-5-2005 tot 21-11-2005 = 203/365 jaar
|
21-11-2005
|
Aflossing
|
€ 2.500.000,00
|
2-5-2005 tot 21-11-2005 = 203/365 jaar
|
20-11-2006
|
Rente
|
€ 219.895,89
|
2-5-2005 tot 20-11-2006 = 1 + 202/365 jaar
|
20-11-2006
|
Aflossing
|
€ 1.500.000,00
|
2-5-2005 tot 20-11-2006 = 1 + 202/365 jaar
|
19-11-2007
|
Rente
|
€ 175.916,71
|
2-5-2005 tot 19-11-2007 = 2 + 201/366 jaar2
|
19-11-2007
|
Aflossing
|
€ 1.000.000,00
|
2-5-2005 tot 19-11-2007 = 2 + 201/366 jaar2
|
19-11-2008
|
Rente
|
€ 147.000,00
|
2-5-2005 tot 19-11-2008 = 3 + 201/365 jaar
|
19-11-2008
|
Aflossing
|
€ 5.000.000,00
|
2-5-2005 tot 19-11-2008 = 3 + 201/365 jaar
|
2 De periode 2-5-2005 tot 19-11-2007 bevat 2 hele jaren en een gebroken jaar, namelijk
van 2-5-2007 tot 19-11-2007. Dit gebroken jaar maakt onderdeel uit van het jaar 2-5-2007
tot 2-5-2008, welke een schrikkeldag (29-2-2008) bevat. Dit betekent dat voor het
gebroken jaar het jaar op 366 wordt gesteld.
Stap 2: Berekening zero-rates en disconteringsfactoren van 2 mei 2005
De zero-rates en disconteringsfactoren van 2 mei 2005 tot na de langste resterende
looptijd (3 en 201/365 jaar) van de cashflows worden als volgt bepaald.
Looptijd
|
Tarief
GMB
(g)
|
Disconterings-
factor (df)
|
Formule df
|
Zero-rate
|
Formule zero-rate
|
|
|
|
rl ≤1 jaar: 1/(1+zero-rate * rl)
|
|
rl ≤1 jaar: g * act/360
|
|
|
|
rl > 1 jaar: 1 - Σ (dfx * rn) / (1+ rn )
|
|
rl > 1 jaar: (1/dfn)1/n – 1
|
1 week
|
2,09%
|
0,9996
|
1 / (1+2,119% * (7/365))
|
2,119%
|
2,09% * 365/360
|
2 weken
|
2,09%
|
0,9992
|
1 / (1+2,119% * (14/365))
|
2,119%
|
2,09% * 365/360
|
3 weken
|
2,10%
|
0,9988
|
1 / (1+2,129% * (21/365))
|
2,129%
|
2,10% * 365/360
|
1 mnd
|
2,11%
|
0,9982
|
1 / (1+2,139% * (31/365))
|
2,139%
|
2,11% * 365/360
|
2 mnd
|
2,12%
|
0,9964
|
1 / (1+2,149% * (61/365))
|
2,149%
|
2,12% * 365/360
|
3 mnd
|
2,13%
|
0,9946
|
1 / (1+2,160% * (92/365))
|
2,160%
|
2,13% * 365/360
|
4 mnd
|
2,13%
|
0,9929
|
1 / (1+2,160% * (123/365))
|
2,160%
|
2,13% * 365/360
|
5 mnd
|
2,14%
|
0,9910
|
1 / (1+2,170% * (153/365))
|
2,170%
|
2,14% * 365/360
|
6 mnd
|
2,15%
|
0,9892
|
1 / (1+2,180% * (184/365))
|
2,180%
|
2,15% * 365/360
|
7 mnd
|
2,15%
|
0,9874
|
1 / (1+2,180% * (214/365))
|
2,180%
|
2,09% * 365/360
|
8 mnd
|
2,16%
|
0,9856
|
1 / (1+2,190% * (245/365))
|
2,190%
|
2,16% * 365/360
|
9 mnd
|
2,17%
|
0,9838
|
1 / (1+2,200% * (276/365))
|
2,200%
|
2,17% * 365/360
|
10 mnd
|
2,18%
|
0,9819
|
1 / (1+2,210% * (304/365))
|
2,210%
|
2,18% * 365/360
|
11 mnd
|
2,19%
|
0,9801
|
1 / (1+2,220% * (335/365))
|
2,220%
|
2,19% * 365/360
|
1 jaar
|
2,20%
|
0,9782
|
1 / (1+2,231% * (365/365))
|
2,231%
|
2,20% * 365/360
|
2 jaar
|
2,27%
|
0,9561
|
1– (0,9782 * 2,27%)/(1+2,27%)
|
2,270%
|
(1/0,9561)1/2 – 1
|
3 jaar
|
2,46%
|
0,9295
|
1– (0,9782 * 2,46%+0,9561 * 2,46%) / (1+2,46%)
|
2,465%
|
(1/0,9295)1/3 – 1
|
4 jaar
|
2,63%
|
0,9010
|
1– (0,9782 * 2,63%+0,9561 * 2,63%+0,9295 * 2,63%) / (1+2,63%)
|
2,641%
|
(1/0,9010)1/4 – 1
|
Stap 3: Berekening zero-rates cashflows
Nu de zero-rates van 2 mei 2005 bekend zijn kunnen d.m.v. lineaire interpolatie de
zero-rates van de cashflows berekend worden.
Datum
|
Cashflow
|
Bedrag
|
Zero-rate
|
Uitwerking lineaire interpolatie zero-rate
|
21-11-2005
|
Rente
|
€ 295.610,96
|
2,180%
|
2,180% + (21 nov 2005 – 2 nov 2005) / (2 dec 2005 – 2 nov 2005) * (2,180%–2,180%)
= 2,180% + 19 / 30 * 0 = 2,180%
|
21-11-2005
|
Aflossing
|
€ 2.500.000,00
|
2,180%
|
20-11-2006
|
Rente
|
€ 219.895,89
|
2,253%
|
2,231% + (20 nov 2006 – 2 mei 2006) / (2 mei 2007 – 2 mei 2006) * (2,270%–2,231%)
= 2,231% + 202 / 365 * 0,039 = 2,253%
|
20-11-2006
|
Aflossing
|
€ 1.500.000,00
|
2,253%
|
19-11-2007
|
Rente
|
€ 175.916,71
|
2,377%
|
2,270% + (19 nov 2007 – 2 mei 2007) / (2 mei 2008 – 2 mei 2007) * (2,465%–2,270%)
= 2,270% + 201 / 366 * 0,195 = 2,377%
|
19-11-2007
|
Aflossing
|
€ 1.000.000,00
|
2,377%
|
19-11-2008
|
Rente
|
€ 147.000,00
|
2,562%
|
2,465% + (19 nov 2008 – 2 mei 2008) / (2 mei 2009 – 2 mei 2008) * (2,641%–2,465%)
= 2,465% + 201 / 365 * 0,176 = 2,562%
|
19-11-2008
|
Aflossing
|
€ 5.000.000,00
|
2,562%
|
Stap 4: Berekening disconteringsfactor en marktwaarde cashflows
Aan de hand van de zero-rate van de cashflows kan de disconteringsfactor (df) en vervolgens
de marktwaarde berekend worden.
Datum
|
Cashflow
|
Bedrag
|
df
|
Formule df
|
Marktwaarde
|
Formule marktwaarde
Cashflow * df
|
21-11-2005
|
Rente
|
€ 295.610,96
|
0,9880
|
1 / (1+2,180% * (203/365))
|
€ 292.070,02
|
€ 295.610,96 * 0,9880
|
21-11-2005
|
Aflossing
|
€ 2.500.000,00
|
0,9880
|
€ 2.470.054,03
|
€ 2.500.000,00 * 0,9880
|
20-11-2006
|
Rente
|
€ 219.895,89
|
0,9660
|
1 / (1+2,253%)( 1 + 202/365)
|
€ 212.416,63
|
€ 219.895,89 * 0,9660
|
20-11-2006
|
Aflossing
|
€ 1.500.000,00
|
0,9660
|
€ 1.448.980,87
|
€ 1.500.000,00 * 0,9660
|
19-11-2007
|
Rente
|
€ 175.916,71
|
0,9419
|
1 / (1+2,377%)( 2 + 201/366)
|
€ 165.689,84
|
€ 175.916,71 * 0,9419
|
19-11-2007
|
Aflossing
|
€ 1.000.000,00
|
0,9419
|
€ 941.865,29
|
€ 1.000.000,00 * 0,9419
|
19-11-2008
|
Rente
|
€ 147.000,00
|
0,9141
|
1 / (1+2,562%)( 3 + 201/365)
|
€ 134.372,16
|
€ 147.000,00 * 0,9141
|
19-11-2008
|
Aflossing
|
€ 5.000.000,00
|
0,9141
|
€ 4.570.481,68
|
€ 5.000.000,00 * 0,9141
|
|
|
|
|
Totaal
Σ Cashflows * df
|
€ 10.235.930,52
|
|
|
Voorbeeld vervroegde opname deposito
In geval van een vervroegde opname van een deposito zal een gestegen rente de marktwaarde
verlagen en een gedaalde rente de marktwaarde verhogen. In de praktijk kan het dus
voorkomen dat een instelling meer terugontvangt dan de initiële storting + de opgelopen
rente van een deposito. Onderstaand zal een voorbeeld van dit scenario worden uitgewerkt.
Modaliteiten
Een deposito met een looptijd van 1 jaar en een hoofdsom van 1 miljoen tegen een rente
van 2,29%. Het deposito is op 19-10-2004 geplaatst. Op 19-4-2005 wordt het deposito
vervroegd opgenomen. Stel dat de rente flink is gedaald en dat het 6 maands tarief
op 19-4-2005 1,79% bedraagt.
Marktwaarde
Stap 1: Bepaling resterende looptijd cashflows
Datum
|
Cashflow
|
Bedrag
|
Resterende looptijd (rl)
|
19-10-2005
|
Rente
|
€ 23.218,06
|
19-4-2005 tot 19-10-2005 = 183/365 jaar
|
19-10-2005
|
Aflossing
|
€ 1.000.000,00
|
19-4-2005 tot 19-10-2005 = 183/365 jaar
|
Stap 2: Berekening zero-rate en disconteringsfactor van 19 april 2005
De zero-rate en de disconteringsfactor van 19 april 2005 wordt als volgt bepaald.
Looptijd
|
Tarief GMB (g)
|
Zero-rate
|
Disconteringsfactor (df)
|
|
|
g * act/360
|
1/(1+zero-rate * rl)
|
6 mnd
|
1,79%
|
1,79% * 365/360 = 1,815%
|
1 / (1+1,815% * (183/365)) = 0,9910
|
Stap 3: Berekening zero-rate cashflows
Aangezien de resterende looptijd van de cashflows gelijk is aan 6 maanden (dus gelijk
aan 6-maands GMB-tarief), is het niet nodig om de zero-rate van de cashflow d.m.v.
lineaire interpolatie te berekenen. De zero-rate (en de df) van de cashflow is gelijk
aan de zero-rate (en de df) van het 6-maands GMB-tarief.
Stap 4: Berekening marktwaarde cashflows
Datum
|
Cashflow
|
Bedrag
|
df
|
Marktwaarde ( Σ Cashflow * df)
|
|
19-10-2005
|
Rente
|
€ 23.218,06
|
0,9910
|
€ 23.218,06 * 0,9910 = € 23.008,68
|
|
19-10-2005
|
Aflossing
|
€ 1.000.000,00
|
0,9910
|
€ 1.000.000,00 * 0,9910 = € 990.982,20
|
|
|
|
|
|
Totaal € 1.013.990,88
|
|
De markwaarde van het vervroegd opgenomen deposito bedraagt € 1.013.990,88. De initiële
waarde (€ 1.000.000,00) + de opgelopen rente(182/365 * € 23.218,06 = € 11.577,22)
bedraagt € 1.011.577,22. In dit voorbeeld bedraagt het voordelige resultaat voor de
instelling dus € 2.413,66.